杨辉三角和差分表

图片里的这种方法叫“差分表”（Difference Table），也就是我们在讨论牛顿插值时提到的方法。
它和白板上的杨辉三角有着极其深刻的联系：
差分表是怎么推导的？
我们以下半部分的数列为例： 1, 2, 4, 8 。
● 杨辉三角（加法生成）： 上一行的两个数相加，等于下一行的数。
● 差分表（减法生成）： 上一行的两个数相减，等于下一行的数。

1. 第 0 行（原始数列）：
 1, 2, 4, 8
2. 第 1 行（一阶差分，由相邻两数相减得到）：
 2 - 1 = 1 
 4 - 2 = 2 
 8 - 4 = 4 
所以得到： 1, 2, 4
3. 第 2 行（二阶差分，继续相减）：
 2 - 1 = 1 
 4 - 2 = 2 
所以得到： 1, 2
4. 第 3 行（三阶差分）：
 2 - 1 = 1 
所以得到： 1
   怎么预测下一个数是 15？
   差分表最大的魔力在于：如果数列是由多项式生成的，它最终会在一行变成“常数”（比如视频里最后变成了 1, 1, 1, ... ）。
   只要最后一行是常数，我们就可以反推回去，预测出原数列的下一项：
5. 假设最后一行继续是 1 。
6. 往上一行推导： 2 + 1 = 3 （得到新的一阶差分）
7. 再往上一行推导： 4 + 3 = 7 （得到新的一阶差分）
8. 最终回到原数列： 8 + 7 = 15 。
   无论是和杨辉三角一起出现在高中课本里，还是差分表出现在大学的数值分析教材中，它们都不是通俗的叫法，而是具有严格定义的正式数学术语。