某点可导与导数连续

导数本身是个函数
每个点 x 处，f′(x) 给出那一点的切线斜率。把所有斜率排在一起，就是新函数 f′(x)。

导数连续 = 这个"斜率函数"连续 = x 移动一点，斜率也只变一点，不跳、不乱抖。

图像感：沿曲线滑动时，切线的方向是逐渐转动的。

比如 f(x) = x²，f′(x) = 2x，斜率从 −2 慢慢变到 2，连续。✓

x² sin(1/x) 和sin(1/x)在0处的导函数分别是多少

某点可导 = 图像在那一点：

不断开（可导 ⇒ 连续）
不扎手、没尖角（不像 |x| 在 0 处）
没有竖直切线（不像 ∛x 在 0 处）
→ 有唯一一条不竖直的切线 → 看起来就是"平滑"的
严格层面：光滑比可导强一点
数学里"光滑"一般指导数连续（C¹），甚至任意阶可导（C^∞）。层级是单向的：

连续⇒可导⇒导数连续(C 1)⇒任意阶可导(C ∞)

"在 x₀ 可导"只保证了差商在 x₀ 这一个点的极限存在，它只管这一个点，管不了旁边各点的斜率。旁边的斜率爱怎么抖怎么抖。

可导推不出导数连续。 经典反例：

对费马引理来说
要求更低：只需要在 x₀ 这一个点可导，连邻域内可导都不需要，更不需要光滑。
把可导当成"不扎手、有切线"就够用；只是记住严格定义里"光滑 = 导数连续"，比可导强一档。

放大镜测试（最直观的区别）
导数连续的曲线（比如 x²）：不断放大，曲线最终看起来就是一条直线——越看越平。
这个曲线：放大多少倍，都还是看到同样陡的细密波纹，永远拉不直。
"可导"只保证在 0 这一个点能放下切线；"导数连续"才保证放大后能拉直、切线方向连续

导函数不可能有台阶式跳跃（达布定理：导函数有介值性）。所以导数要不连续，只能是这种震荡式的，不能是干净地跳一格。这也是为什么这种反例都得靠 sin(1/x) 这类震荡函数来造。

证明：导函数不可能有台阶式跳跃？

顺带一提
其实内部每个谷底（局部极小）都满足 g′ = 0，也就是 f′ = 2。波峰波谷多的话，等于找到好几个 f′ = 2 的点——那更好，我们只需要至少一个。

证明要的只是"最小值落在内部"这一个事实，不要求函数是干净的 U 形。波形再多，最深的谷照样在内部，费马照样生效。