有极值点不一定可导

直接回答：不一定

极值点不一定可导。

反例

$$f(x) = |x|$$

在 $x = 0$ 处取极小值（$f(0) = 0$ 是最小值），但在 $x = 0$ 处不可导。

      \  /
       \/   ← x=0 是极小值点，但是个"尖角"，不可导

• 左导数 = $-1$
• 右导数 = $+1$
• 不相等 → 不可导

所以费马引理为什么要求"可导"？

费马引理：

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是极值点，则 $f'(x_0) = 0$

"可导"是前提条件，不是结论。没有这个前提，结论不成立。

极值点可能出现在哪？

极值点只可能出现在两种地方：

所以找极值点时，驻点和不可导点都要检查。

一句话总结

极值点 → 不一定可导
可导 + 极值点 → 导数一定为零（费马引理）

可导是费马引理的前提，不是极值点自带的性质。

极值点与可导的严格定义

一、极值点的定义

极大值点

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 内有定义。

若对该邻域内任意 $x \neq x_0$，都有：

$$f(x) < f(x_0)$$

则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，$f(x_0)$ 是极大值。

若把 $<$ 换成 $\leq$，则称为广义极大值（或非严格极大值）。

极小值点

若对该邻域内任意 $x \neq x_0$，都有：

$$f(x) > f(x_0)$$

则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，$f(x_0)$ 是极小值。

关键词解读

图示理解

        ·  ← 局部最高点（极大值点）
       / \
      /   \
     /     \  · ← 这个点比它高，但不影响它是极大值点

极值点不要求是全局最高的，只要附近它最高就行。

二、可导的定义

定义

设函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。若极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，该极限值记为 $f'(x_0)$。

等价说法

左导数存在，右导数存在，且相等：

$$f'-(x_0) = \lim \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

$$f'+(x_0) = \lim \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

$$f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 可导} \iff f'-(x_0) = f'+(x_0)$$

关键词解读

三、两者的关系

四、一句话对比

极值点： $x_0$ 附近，$f(x_0)$ 是最大的（或最小的）。
可导： 极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在（左导数 = 右导数）。

两者是独立的概念，互不蕴含，只有组合在一起才有费马引理的结论。