函数的凹凸性，什么叫下凸，上凸，啥叫凹，定义函数的凹凸性，没看到有凹，上凸函数和下凸函数

正是因为“凹”和“凸”这两个字在不同书里意思完全相反，容易把人搞疯，所以有些老师和教材发明了 “下凸” 和 “上凸” 这两个词，用来消除歧义。

下凸（对应 ∪ ）： 意思是 “向下凸出”。你想象一个碗，它的底部是向下凸出来的。此时 f′′(x)>0 。
上凸（对应 ∩ ）： 意思是 “向上凸出”。你想象一座拱桥，它的桥面是向上凸出来的。此时 f′′(x)<0 。
第三步：函数凹凸性的严谨数学定义

抛开文字游戏，数学上是如何严谨定义凹凸性的呢？通常有两种等价的理解方式：

1. 几何定义（割线法）

在函数图像上任取两点 A 和 B ，连接 AB 得到一条割线（线段）。

下凸（∪ / 同济的“凹” / 数分的“凸”）： 线段 AB 永远在曲线的上方（或重合）。
上凸（∩ / 同济的“凸” / 数分的“凹”）： 线段 AB 永远在曲线的下方（或重合）。
2. 代数定义（Jensen不等式）

对于定义域内的任意两点 x1​,x2​ 和任意 t∈[0,1] ：

下凸函数（∪ ）： f(tx1​+(1−t)x2​)≤tf(x1​)+(1−t)f(x2​)
上凸函数（∩ ）： f(tx1​+(1−t)x2​)≥tf(x1​)+(1−t)f(x2​)
3. 最实用的判定法（二阶导数法）

在实际做题中，我们几乎不看上面的定义，而是直接求二阶导数：

若 f′′(x)>0 ，则是 下凸（∪ ）。
若 f′′(x)<0 ，则是 上凸（∩ ）。
若 f′′(x)=0 且两侧符号改变，则该点是拐点（凹凸性改变的点）。
在国际数学界，标准的英文术语只有 Convex（凸，∪ ） 和 Concave（凹，∩ ）。根本没有 "up-convex" 或 "down-convex" 这种说法。“上凸/下凸”是中国本土为了区分教材差异而发明的“方言”。

长远发展： 如果你以后要学经济学、机器学习、人工智能，请彻底忘掉同济高数的叫法，记住国际通用标准：Convex（凸）= ∪ ，Concave（凹）= ∩ 。